Para definir las ecuaciones de conservación de un sistema, en particular en el flujo de fluidos, podemos partir de dos visiones del problema, una el modelo $\textit{Lagrangiano}$ y otra, el modelo $\textit{Euleriano}$.
Mientras que el modelo $\textit{Lagrangiano}$, se fija en la partícula para hacer un seguimiento de la misma (desplazamiento) y de sus propiedades, el enfoque $\textit{Euleriano}$, fija un $\textit{VC}$ ($\textit{Volumen de Control}$ o $\textit{Control Volume}$), en el que se analizan las propiedades dentro de un volumen de referencia y se asignan las propiedades dentro de ese volumen, a cualquier partícula que lo atraviese.
En un medio discreto, como puede ser por ejemplo la descripción del movimiento de un vehículo, o el movimiento de las bolas en una mesa de billar, el método $\textit{Lagrangiano}$, puede ser mas útil ya que nos focalizamos en partículas macroscópicas bien delimitadas.
Cuando tratamos con fluidos, ya sean gases o líquidos, es muy difícil, por no decir imposible, fijarse en el movimiento de una sola partícula, ya que el medio fluido se manifiesta como un continuo de materia en el que los elementos no son discernibles.
Por lo anterior, resulta muy útil en ingeniería de fluidos, utilizar un enfoque $\textit{Euleriano}$ del problema.
\begin{equation}
B_{SIST,t}=B_{VC,t}
\end{equation}
\begin{equation}
B_{SIST,t+\Delta t}=B_{VC,t+\Delta t}-B_{I,t+\Delta t}+B_{II,t+\Delta t}
\end{equation}
Restando estas dos ecuaciones y dividiendo por $\Delta t$ se tiene:
\begin{equation}
\frac{B_{SIST,t+\Delta t}-B_{SIST,t}}{\Delta t}
=\frac{B_{VC,t+\Delta t}-B_{VC,t}}{\Delta t}-\frac{B_{I,t+\Delta t}}{\Delta t}+\frac{B_{II,t+\Delta t}}{\Delta t}
\end{equation}
Tomando límite cuando $\lim\limits_{\Delta t\to0}$:
\begin{gather*}
\frac{dB_{SIST}}{dt}=\frac{dB_{VC}}{dt}-\dot{B}_{entrada}+\dot{B}_{salida}\;\therefore\; \\ \frac{dB_{SIST}}{dt}=\frac{dB_{VC}}{dt}-b_{1}\:\rho_{1}\:V_{1}\: A_{1}+b_{2}\:\rho_{2}\:V_{2}\:A_{2}
\end{gather*}
Operando lo anterior se tiene el $\textbf{TEOREMA DEL TRANSPORTE DE REYNOLS}$
\begin{equation}
B_{VC}=\int_{VC}{} \rho\:b\:d\:\textsf{V} \;\;y\;\;\dot{B}_{neto}=\dot{B}_{salida}-\dot{B}_{entrada}=\int_{SC}\rho\:b\:\vec V \: \dot \: \vec n\: dA
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{dB_{SIST}}{dt}=\frac{1}{dt} \int_{VC}{} \rho\:b\:d\textsf{V}+\int_{SC}\rho\:b\:\vec V \: \cdot \: \vec n\: dA
\end{equation}
Para un volumen fijo de control, la derivada con respecto al tiempo puede introducirse dentro de la integral, pero como derivada parcial, ya que tanto $\rho$ como $b$, pueden ser dependientes de la posición:
\begin{equation}
\frac{dB_{SIST}}{dt}= \int_{VC}{} \frac{\partial}{\partial t}(\rho\:b)\:d\textsf{V}+\int_{SC}\rho\:b\:\vec V \: \cdot \: \vec n\: dA
\end{equation}
Si el flujo es estacionario:
\begin{equation}
\frac{dB_{SIST}}{dt}=\int_{SC}\rho\:b\:\vec V \: \cdot \: \vec n\: dA
\end{equation}
En todo este razonamiento hemos considerado una propiedad genérica del sistema $B$, vamos a aplicar esto a las tres ecuaciones de conservación: materia, cantidad de movimiento y energía.
ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN DE MATERIA
En este caso $\dot{B}=\dot{m}$ flujo másico $\frac{kg}{s}$
\begin{equation}
\frac{dm_{CV}}{dt}=\dot{m}_{ent.}-\dot{m}_{sal.}
\end{equation}
Ya que al ser un sistema cerrado $m=cte \therefore \frac{dB_{SIST}}{dt}=0$