DESCOMPOSICIÓN DEL COCIENTE DE POLINOMIOS EN FRACIONES SIMPLES.
Dadas dos funciones polinómicas del tipo:
$$N(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$$
y
$$D(x)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+...+b_{1}x+b_{0}$$
Se define el cociente de estos dos polinomios de coeficiente reales constantes como:
$$\frac{N(x)}{D(x)}=C(x)+\frac{R(x)}{D(x)}$$
El cociente $C(x)$ existirá en el caso de que $n\geq m$
Ejemplo:
$$\frac{x^{2}-1}{x^{2}-2x-3}$$
Aplicamos Cardano para encontrar las raices del numerador y el denominador:
$${x^{2}-1}=\pm \frac{\sqrt{4}}{2}=\pm 1$$
$${x^{2}-2x-3}=\frac{-2\pm\sqrt{4+12}}{2}=1,-3$$
O Ruffini:
\begin{array}
{r|rrr} & 1 & 0 & -1\\ 1 & & 1 & 1\\ \hline & 1 & 1 & 0\\ -1 & & -1\\ \hline & 1 & 0
\end{array}
\begin{array}
{r|rrr} & 1 & -2 & -3\\ -1 & & -1 & 3\\ \hline & 1 & -3 & 0\\ 3 & & 3\\ \hline & 1 & 0
\end{array}
$$\frac{x^{2}-1}{x^{2}-2x-3}=\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)(x-3)}=\frac{(x-1)}{(x-3)}=1+\frac{2}{(x-3)}$$
O realizamos una división de polinomios
$$(x-1)/(x-3) \Longrightarrow C(x)=1 \,\,\, R(x)=2$$
Una vez llegados a este punto, tendremos la integral de un polinomio mas la integral de un cociente de polinomios en donde el grado del numerador será menor o igual que el del denominador.
CASO 1: TODAS LAS RAICES DEL DENOMINADOR SON REALES SIMPLES O MÚLTIPLES
Podremos factorizar el denominador de la forma:
$$D(x)=(x-a_{1})^{k_{1}}(x-a_{2})^{k_{2}}...(x-a_{n})^{k_{m}}$$
donde $$a_{i}$$ son las raíces reales y $$k_{j}$$ son las multiplicidades de las raíces.
$$\frac{N(x)}{D(x)}=\frac{P(x)}{(x-a_{1})^{k_{1}}(x-a_{2})^{k_{2}}...(x-a_{n})^{k_{m}}}=$$
$$\frac{N(x)}{D(x)}=\frac{b_{1}^{1}}{(x-a_{1})}+\frac{b_{2}^{1}}{(x-a_{1})^{2}}+...+\frac{b_{k_{1}}^{1}}{(x-a_{1})^{k_{1}}}+$$
$$+\frac{b_{1}^{2}}{(x-a_{2})}+\frac{b_{2}^{2}}{(x-a_{2})^{2}}+...+\frac{b_{k_{2}}^{2}}{(x-a_{2})^{k_{2}}}+...+$$
$$+\frac{b_{1}^{n}}{(x-a_{n})}+\frac{b_{2}^{n}}{(x-a_{n})^{2}}+...+\frac{b_{k_{m}}^{n}}{(x-a_{n})^{k_{m}}}$$
CASO 2: NO TODAS LAS RAICES DEL DENOMINADOR SON REALES SIMPLES O MÚLTIPLES
Podremos factorizar el denominador de la forma:
$$D(x)=(x-a_{1})^{k_{1}}...(x-a_{2})^{k_{2}}...(x-a_{n})^{k_{n}}...$$
$$...(x-(α_{1}+β_{1}i))^{1}...(x-(α_{1}+β_{1}i))^{q_{m}}...$$
$$...(x-(α_{p}+β_{p}i))^{1}...(x-(α_{p}+β_{p}i))^{q_{r}}$$
Las raíces reales tendrán una descomposición genérica del tipo (ejemplo raíz múltiple):
$$\frac{b_{1}^{n}}{(x-a_{n})}+\frac{b_{2}^{n}}{(x-a_{n})^{2}}+...+\frac{b_{k_{m}}^{n}}{(x-a_{n})^{k_{m}}}$$
Las raíces complejas tendrán una descomposición genérica del tipo (ejemplo raíz múltiple):
$$\frac{b_{1}^{j}x+c_{1}^{j}}{(x-(α_{j}+β_{j}i))}+\frac{b_{2}^{j}x+c_{2}^{j}}{(x-(α_{j}+β_{j}i))^{2}}+...+\frac{b_{k_{j}}^{j}x+c_{k_{j}}^{j}}{(x-(α_{j}+β_{j}i))^{k_{j}}}$$
VEAMOS EJEMPLOS DE CADA CASO
- Raíces reales simples:
$$\frac{3x-2}{x^{2}+2x-3}=\frac{3x-2}{(x-1)(x+3)}=\frac{A}{(x-1)}+\frac{B}{(x+3)}=$$
$$=\frac{A(x+3)}{(x-1)(x+3)}+\frac{B(x-1)}{(x-1)(x+3)}=\frac{Ax+3A+Bx-B}{(x-1)(x+3)}$$
$$A+B=3$$
$$3A-B=-2$$
Sistema de ecuaciones resultado de igualar los coeficientes de x de igual orden, del numerador izquierdo con los del numerador derecho.
$$A=1/4$$
$$B=11/4$$
$$\frac{3x-2}{x^{3}-x^{2}}=\frac{3x-2}{x^{2}(x-1)}=\frac{1}{4(x-1)}+\frac{11}{4(x+3)}$$
- Raíces reales múltiples
$$\frac{3x-2}{x^{3}+x^{2}}=\frac{3x-2}{x^{2}(x-1)}=\frac{A}{(x-0)}+\frac{B}{(x-0)^{2}}+\frac{C}{(x-1)}=$$
$$=\frac{Ax(x-1)+B(x-1)+Cx^{2}}{x^{2}+(x-1)}=\frac{(A+C)x^{2}+(-A+B)x-B}{x^{2}(x-1)}$$
Igualando numeradores a ambos lados con igual potencia de x:
A+C=0
-A+B=3
-B=-2
Resolviendo el sistema:
A=-1,B=2,C=1
$$\frac{3x-2}{x^{3}-x^{2}}=\frac{3x-2}{x^{2}(x-1)}=-\frac{1}{x}+\frac{2}{x^{2}}+\frac{1}{(x-1)}$$
- Raíces complejas simples y múltiples:
$$\frac{x}{(x^{2}+1)(x^{2}+x+2)^{2}}=\frac{Ax+B}{(x^{2}+1)}+\frac{Cx+D}{(x^{2}+x+2)}+\frac{Ex+F}{(x^{2}+x+2)^{2}}$$
El denominador tiene una raíz compleja simple y una raíz compleja múltiple.
$$(x^{2}+1)$$
Tiene como raíces simples $$±i$$
$$(x^{2}+x+2)^{2}$$
Tiene como raíces dobles $$-\frac{1}{2}±i\sqrt{7}$$
La descomposición de este cociente de polinomios está mas arriba, poniendo común denominador, e igualando los componentes de igual grado en x queda:
$$(A+C)x^{5}+(2A+B+C+D)x^{4}+(5A+2B+3C+D+E)x^{3}+...$$
$$,,,+(4A+5B+C+3D+F)x^{2}+(4A+4B+2C+D+E)x+(4B+2D+F)=x$$
Con lo que resulta el siguiente sistema:
A+C=0
2A+B+C+D=0
5A+2B+3C+D+E=0
4A+5B+C+3D+F=0
4A+4B+2C+D+E=1
4B+2D+F=0
Que resuelto es:
A=4, B=4. C=2, D=1, E=1, F=0
$$\frac{x}{(x^{2}+1)(x^{2}+x+2)^{2}}=\frac{4x+4}{(x^{2}+1)}+\frac{2x+1}{(x^{2}+x+2)}+\frac{x}{(x^{2}+x+2)^{2}}$$